{0,1}の冪の連続像とならないコンパクト Hausdorff 空間の構成と Hewitt-Marczewski-Pondiczery の定理の証明の詳細

まず、\(X\) がコンパクト (compact) であることを示す。
\(\mathcal{U} = \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\) を \(X\) の任意の開被覆とする。\(\infty \in X\) であるから、ある \(\lambda_0 \in \Lambda\) が存在して \(\infty \in U_{\lambda_0}\) となる。構成より、\(X \smallsetminus U_{\lambda_0}\) は \(D\) の有限部分集合である。これを \(\{d_1, d_2, \ldots, d_k\} \subset D\) とおく。
各 \(d_i\) に対して、\(d_i \in U_{\lambda_i}\) となる \(\lambda_i \in \Lambda\) を選ぶことができる。このとき、\(\{U_{\lambda_0}, U_{\lambda_1}, \ldots, U_{\lambda_k}\}\) は \(X\) の有限部分被覆となる。したがって、\(X\) はコンパクト (compact) である。

次に、\(X\) がHausdorff空間 (Hausdorff space) であることを示す。
\(X\) の相異なる 2 点 \(x, y\) を任意にとる。
(ケース 1): \(x, y \in D\) の場合。
\(U = \{x\}\), \(V = \{y\}\) とおくと、\(D\) は離散空間 (discrete space) であるためこれらは \(X\) の開集合であり、\(x \in U\), \(y \in V\), \(U \cap V = \varnothing\) を満たす。
(ケース 2): 一方が \(\infty\) の場合。一般性を失わず \(x \in D\), \(y = \infty\) とする。
\(U = \{x\}\), \(V = X \smallsetminus \{x\}\) とおく。\(U\) は \(D\) の部分集合であるため開集合である。また、\(\infty \in V\) であり、\(X \smallsetminus V = \{x\}\) は有限集合であるから、\(V\) も開集合である。さらに \(x \in U\), \(\infty \in V\), \(U \cap V = \varnothing\) を満たす。
以上より、\(X\) はHausdorff空間 (Hausdorff space) である。

\(D\) の各点 \(d \in D\) に対して、一元集合 \(\{d\}\) は \(D\) の部分集合であるため、\(X\) において開集合である。
\(\mathcal{O} = \{\{d\} \mid d \in D\}\) という開集合の族を考える。\(\mathcal{O}\) は互いに素な空でない開集合の族である。しかし、\(D\) は非可算集合であるため、\(\mathcal{O}\) は非可算族となる。したがって、\(X\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たさない。

\(\mathcal{F}\) は非可算族であり、各要素は有限集合であるため、鳩の巣原理（ pigeonhole principle）により、ある整数 \(n \geq 0\) と非可算な部分族 \(\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}\) が存在して、\(\mathcal{F}_0\) のすべての要素の濃度がちょうど \(n\) となる。この \(n\) に関する数学的帰納法により証明を行う。

\(n = 0\) のとき、\(\mathcal{F}_0\) の要素はすべて空集合 \(\varnothing\) である。したがって、\(R = \varnothing\) および \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}_0\) とおけば、任意の相異なる \(A, B \in \mathcal{F}'\) に対して \(A \cap B = \varnothing = R\) となり、主張は成り立つ。

\(n-1\) 以下のときに主張が正しいと仮定し、要素数が \(n\) の場合の証明を行う。次の 2 つのケースに分けて考える。

(ケース 1): ある要素 \(x\) が存在して、\(x\) を含む集合が \(\mathcal{F}_0\) の中に非可算個存在する場合。
\(\mathcal{F}_1 = \{A \in \mathcal{F}_0 \mid x \in A\}\) とおくと、\(\mathcal{F}_1\) は非可算族である。ここで各集合から \(x\) を除いた族 \(\mathcal{F}_1' = \{A \smallsetminus \{x\} \mid A \in \mathcal{F}_1\}\) を考えると、これは要素数 \(n-1\) の有限集合からなる非可算族である。帰納法の仮定により、ある根 \(R'\) と非可算な部分族 \(\mathcal{F}_2' \subset \mathcal{F}_1'\) が存在して、任意の相異なる \(A', B' \in \mathcal{F}_2'\) に対し \(A' \cap B' = R'\) となる。このとき、\(\mathcal{F}' = \{A' \cup \{x\} \mid A' \in \mathcal{F}_2'\}\) とおけば、これは \(\mathcal{F}_1\) の非可算な部分族（したがって \(\mathcal{F}_0\) の部分族）であり、任意の相異なる \(A, B \in \mathcal{F}'\) に対して \[ A \cap B = (A' \cup \{x\}) \cap (B' \cup \{x\}) = (A' \cap B') \cup \{x\} = R' \cup \{x\} \] となる。したがって、\(R = R' \cup \{x\}\) とおくことで主張が満たされる。

(ケース 2): 任意の要素 \(x\) について、\(x\) を含む集合が \(\mathcal{F}_0\) の中に高々可算個しか存在しない場合。
この場合、互いに素な（すなわち \(R = \varnothing\) となる）非可算な部分族 \(\mathcal{F}'\) を選択公理（超限帰納法）を用いて構成できる。まず、任意の \(A_0 \in \mathcal{F}_0\) を選ぶ。集合 \(A_0\) は有限集合であり、その各要素を含む \(\mathcal{F}_0\) の元は高々可算個であるため、\(A_0\) と交わりを持つ \(\mathcal{F}_0\) の元全体は高々可算個の有限集合の和集合となり、可算集合である。いま \(\mathcal{F}_0\) は非可算族であるから、\(A_0\) と互いに素な \(A_1 \in \mathcal{F}_0\) を選ぶことができる。同様に、既に選ばれた可算個の部分族 \(\{A_\alpha \mid \alpha < \gamma\}\)（ただし \(\gamma\) は第一非可算順序数 \(\omega_1\) 未満の順序数）に対し、その和集合 \(\bigcup_{\alpha < \gamma} A_\alpha\) は可算集合である。その各要素を含む \(\mathcal{F}_0\) の元全体もやはり可算個であるため、\(\mathcal{F}_0\) からそれらを除いた非可算な残りから、これまでに選ばれたすべての集合と互いに素な \(A_\gamma \in \mathcal{F}_0\) を選ぶことができる。この手続きをすべての \(\gamma < \omega_1\) について続けることで、互いに素な非可算部分族 \(\mathcal{F}' = \{A_\gamma \mid \gamma < \omega_1\}\) が得られる。このとき \(R = \varnothing\) とすれば主張が成り立つ。

以上により、すべての \(n\) について \(\Delta\)システム補題が証明された。

直積空間 \(X\) において、互いに素な空でない開集合からなる非可算族 \(\mathcal{U}\) が存在すると仮定し、矛盾を導く。直積空間の準基の定義より、各開集合の中に基本開集合 (basic open set) をとることができるため、\(\mathcal{U}\) の各要素は最初から次の形の基本開集合であると仮定してよい： \[ U = \prod_{\alpha \in A} U_\alpha \] ここで、\(U_\alpha\) は \(X_\alpha\) の開集合であり、有限個の \(\alpha\) を除いて \(U_\alpha = X_\alpha\) である。各基本開集合 \(U \in \mathcal{U}\) に対し、\(U_\alpha \neq X_\alpha\) となる有限な添字集合を \(U\) の支持集合 (support) と呼び、\(S(U)\) で表す。すなわち、 \[ S(U) = \{\alpha \in A \mid U_\alpha \neq X_\alpha\} \] である。各 \(S(U)\) は \(A\) の有限部分集合である。

いま、有限集合の族 \(\{S(U) \mid U \in \mathcal{U}\}\) を考える。もしこの族が可算個の異なる集合しか持たないとしても、\(\mathcal{U}\) が非可算族であることから、同じ支持集合 \(S_0\) を持つ基本開集合が非可算個存在することになる。あるいは、異なる支持集合が非可算個あるならば、補題 3.2 (\(\Delta\)システム補題) を適用することにより、いずれにせよ次を満たす \(\mathcal{U}\) の非可算な部分族 \(\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}\) と、ある有限集合 \(R \subset A\)（根）が存在する： \[ \text{任意の相異なる } U, V \in \mathcal{U}' \text{ に対して } S(U) \cap S(V) = R \] 有限個の可分空間の直積空間 \(\prod_{\alpha \in R} X_\alpha\) を考える。可分空間の有限直積は再び可分であり、可分空間は常に ccc を満たすため、\(\prod_{\alpha \in R} X_\alpha\) は ccc を満たす。

各 \(U \in \mathcal{U}'\) に対して、根 \(R\) への射影成分 \(U_R = \prod_{\alpha \in R} U_\alpha\) を考える。これは空間 \(\prod_{\alpha \in R} X_\alpha\) の空でない開集合である。\(\mathcal{U}'\) は非可算族であり、\(\prod_{\alpha \in R} X_\alpha\) は ccc を満たすため、すべての \(U_R\) (\(U \in \mathcal{U}'\)) が互いに素であることは不可能である。したがって、ある相異なる \(U, V \in \mathcal{U}'\) が存在して、 \[ U_R \cap V_R \neq \varnothing \] となる。すなわち、任意の \(\alpha \in R\) について \(U_\alpha \cap V_\alpha \neq \varnothing\) である。

ここで、この \(U\) と \(V\) について、\(R\) 以外の任意の添字 \(\alpha \in A \smallsetminus R\) における成分の交わりを検証する。

1. \(\alpha \in S(U) \smallsetminus R\) のとき：\(S(U) \cap S(V) = R\) であるから、\(\alpha \notin S(V)\) である。したがって定義より \(V_\alpha = X_\alpha\) となり、\(U_\alpha \cap V_\alpha = U_\alpha \cap X_\alpha = U_\alpha \neq \varnothing\) である。
2. \(\alpha \in S(V) \smallsetminus R\) のとき：同様に \(\alpha \notin S(U)\) であるから、\(U_\alpha = X_\alpha\) となり、\(U_\alpha \cap V_\alpha = X_\alpha \cap V_\alpha = V_\alpha \neq \varnothing\) である。
3. \(\alpha \notin S(U) \cup S(V)\) のとき：\(U_\alpha = X_\alpha\) かつ \(V_\alpha = X_\alpha\) であるから、\(U_\alpha \cap V_\alpha = X_\alpha \neq \varnothing\) である。

以上より、すべての \(\alpha \in A\) について \(U_\alpha \cap V_\alpha \neq \varnothing\) が成り立つ。これは直積空間の定義から、 \[ U \cap V = \prod_{\alpha \in A} (U_\alpha \cap V_\alpha) \neq \varnothing \] であることを意味する。しかし、これは \(\mathcal{U}\) の要素が互いに素であるという仮定に矛盾する。したがって、直積空間 \(X\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たす。

空間 \(\{0,1\}\) は 2 点からなる離散空間であり、それ自身が高々可算な稠密部分集合であるため可分 (separable) である。したがって、定理 3.3 より、その任意の直積空間 \(\{0,1\}^m\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たす。

\(B\) において互いに素な空でない開集合の族 \(\mathcal{V} = \{V_i\}_{i \in I}\) を任意にとる。
\(f\) は連続であるため、各 \(i \in I\) について引き戻し \(f^{-1}(V_i)\) は \(A\) の開集合である。
また、\(f\) は全射であり \(V_i\) は空でないため、\(f^{-1}(V_i)\) も空ではない。
\(i \neq j\) ならば \(V_i \cap V_j = \varnothing\) であるから、\(f^{-1}(V_i) \cap f^{-1}(V_j) = f^{-1}(V_i \cap V_j) = \varnothing\) となる。
したがって、\(\{f^{-1}(V_i)\}_{i \in I}\) は \(A\) における互いに素な空でない開集合の族となる。
\(A\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たすため、この族は高々可算である。すなわち添字集合 \(I\) は高々可算となる。よって \(B\) も可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たす。

背理法で示す。ある濃度 \(m\) に対して全射連続写像 \(f \colon \{0,1\}^m \to X\) が存在したと仮定する。
系 3.4 より、\(\{0,1\}^m\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たす。補題 3.5 より、全射連続像である \(X\) も可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たさなければならない。
しかし、補題 3.1 で示したように \(X\) は可算連鎖条件 (countable chain condition) を満たさない。これは矛盾である。
ゆえに、\(\{0,1\}^m\) から \(X\) への全射連続写像は存在しない。